Abbildungen im Koordinatensystem
Spiegeln, Verschieben und Drehen sind Abbildungen. Du erkennst sie an den Koordinaten von Punkt und Bildpunkt.
Das lernst du heute
- Ich erkenne eine Abbildung an den Koordinaten von Punkt und Bildpunkt.
- Ich führe zwei Abbildungen nacheinander aus.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Verschieben, Drehen
Spiegeln, Verschieben und Drehen heißen Abbildungen. Aus einem Punkt P wird ein Bildpunkt P′. Form und Größe der Figur bleiben gleich. An den Koordinaten erkennst du die Abbildung: Wechselt nur der x-Wert das Vorzeichen, wurde an der y-Achse gespiegelt. Wechselt nur der y-Wert das Vorzeichen, wurde an der x-Achse gespiegelt. Wechseln beide, wurde um 180° gedreht. Ändern sich die Werte um feste Zahlen, wurde verschoben. Bei einem einzelnen Punkt ist das nicht immer eindeutig. Prüfe deshalb mehrere Ecken einer Figur. Du kannst auch zwei Abbildungen nacheinander ausführen.
| Abbildung | Regel für (x|y) |
|---|---|
| Spiegeln an der y-Achse | (−x|y) |
| Spiegeln an der x-Achse | (x|−y) |
| Drehen um 180° um den Ursprung | (−x|−y) |
| Verschieben um a nach rechts, b nach oben | (x + a|y + b) |
Welche Abbildung liegt vor? A(2|1) wird zu A′(−2|1)
- Vergleiche die x-Werte: 2 und −2. Das Vorzeichen wechselt.
- Vergleiche die y-Werte: 1 und 1. Sie bleiben gleich.
- Nur der x-Wert wechselt das Vorzeichen.
- Das ist eine Spiegelung an der y-Achse.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Schau, was sich ändert.
Ein Vorzeichen: Spiegeln.
Beide Vorzeichen: Drehen um 180°. Feste Zahlen dazu: Verschieben.
Ein Beispiel
Du bewegst ein Papierdreieck auf dem Tisch: schieben, wenden, drehen. Jede Bewegung ist eine Abbildung. Das Dreieck selbst verändert sich dabei nicht.
Schritt für Schritt
Zwei Abbildungen nacheinander ausführen
- Schreibe den Startpunkt auf, zum Beispiel P(1|2).
- Führe die erste Abbildung aus: Spiegelung an der y-Achse ergibt (−1|2).
- Führe die zweite Abbildung mit dem neuen Punkt aus: 4 nach rechts ergibt (3|2).
- Schreibe das Endergebnis auf: P″ liegt bei (3|2).
Mit einem Bild erklärt
Zur Grundlage zurück
- Verschieben – Verschieben kennst du.
- Drehen – Drehen kennst du.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zeig mir den ersten Schritt
Welcher Wert wechselt das Vorzeichen?
Lösung ansehen
Lösung: Spiegelung an der x-Achse
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Zeig mir den ersten Schritt
Wie viel kommt zum x-Wert dazu? Wie viel zum y-Wert?
Lösung ansehen
Lösung: Verschiebung um 3 nach rechts und 2 nach oben
Tipp: Vergleiche immer erst die Vorzeichen, dann die Beträge der Koordinaten.
Merksatz: Ein Vorzeichen wechselt: Spiegelung. Beide wechseln: Drehung um 180°. Beide Werte ändern sich um feste Zahlen: Verschiebung.
Typischer Fehler: Viele verwechseln die Drehung um 180° mit einer Spiegelung. Bei der Drehung wechseln beide Vorzeichen, bei der Achsenspiegelung nur eines.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 P(1|2) wird erst an der y-Achse gespiegelt und dann um 4 nach rechts verschoben. Welchen x-Wert hat das Endergebnis?
Zeig mir den ersten Schritt
Erst spiegeln: (−1|2). Dann 4 nach rechts: x = −1 + 4.
Lösung ansehen
Lösung: 3
(1|2) wird zu (−1|2). Dann (−1 + 4|2) = (3|2).
Frage 2 Q(2|3) wird erst um 180° gedreht und dann um 5 nach rechts und 4 nach oben verschoben. Welchen y-Wert hat das Endergebnis?
Zeig mir den ersten Schritt
Erst drehen: (−2|−3). Dann y = −3 + 4.
Lösung ansehen
Lösung: 1
(2|3) wird zu (−2|−3). Dann (−2 + 5|−3 + 4) = (3|1).
Lösung ansehen
Lösung: Drehung um 180° um den Ursprung
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Frage 5 A(2|1) wird erst um 6 nach rechts verschoben und dann an der x-Achse gespiegelt. Welchen x-Wert hat das Endergebnis?
Zeig mir den ersten Schritt
Erst verschieben: (8|1). Bei der Spiegelung an der x-Achse bleibt der x-Wert.
Lösung ansehen
Lösung: 8
(2|1) wird zu (8|1). Die Spiegelung an der x-Achse ändert nur den y-Wert: (8|−1). Der x-Wert ist 8.
Geschafft
Du erkennst eine Abbildung an den Koordinaten von Punkt und Bildpunkt. Bei zwei Abbildungen nacheinander führst du sie der Reihe nach aus.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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