Möglichkeiten geschickt zählen
Du zählst Möglichkeiten mit dem Zählprinzip, mit Anordnungen und mit Auswahlen.
Das lernst du heute
- Ich wende das Zählprinzip bei mehreren Entscheidungen an.
- Ich zähle Anordnungen und Auswahlen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Zufallsversuche in mehreren Stufen
Oft musst du nur wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt. Dann brauchst du keinen großen Baum. Zählprinzip: Du multiplizierst die Möglichkeiten jeder Entscheidung. Beispiel: 3 Hosen und 4 Shirts ergeben 3 · 4 = 12 Outfits. Ein Code aus 3 Ziffern (0 bis 9, Wiederholung erlaubt) hat 10 · 10 · 10 = 1000 Möglichkeiten. Anordnungen: 4 Personen stehen in einer Reihe. Für den ersten Platz gibt es 4 Personen, für den zweiten 3, dann 2, dann 1. Das sind 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Möglichkeiten. Du schreibst dafür 4! (gesprochen: „4 Fakultät“). Auswahl mit Reihenfolge: Bei 5 Läufern gibt es für Platz 1 und Platz 2 genau 5 · 4 = 20 Möglichkeiten. Auswahl ohne Reihenfolge: Ein Zweierteam aus 5 Personen. In den 20 Möglichkeiten kommt jedes Team doppelt vor, zum Beispiel als (A|B) und als (B|A). Also 20 : 2 = 10 Teams.
| Aufgabe | Rechnung | Möglichkeiten |
|---|---|---|
| 3 Hosen, 4 Shirts | 3 · 4 | 12 |
| Code mit 3 Ziffern | 10 · 10 · 10 | 1000 |
| 4 Personen in einer Reihe | 4 · 3 · 2 · 1 | 24 |
| Platz 1 und 2 von 5 Läufern | 5 · 4 | 20 |
| Zweierteam aus 5 Personen | 5 · 4 : 2 | 10 |
Ein Team auswählen
- Aufgabe: Du bildest aus 5 Kindern ein Team aus 2 Kindern. Wie viele Teams gibt es?
- Mit Reihenfolge: 5 · 4 = 20 Paare, zum Beispiel (Mia|Ben) und (Ben|Mia).
- Im Team spielt die Reihenfolge keine Rolle. Du hast jedes Team doppelt gezählt.
- 20 : 2 = 10 Teams.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Entscheidungen malnehmen.
Ohne Wiederholung wird es weniger.
Ohne Reihenfolge teilen.
Ein Beispiel
Du stellst dein Menü zusammen: 3 Vorspeisen, 4 Hauptspeisen und 2 Nachspeisen. Das sind 3 · 4 · 2 = 24 verschiedene Menüs.
Schritt für Schritt
Aufgaben zum Zählen lösen
- Schreibe die Entscheidungen nacheinander auf.
- Zähle, wie viele Möglichkeiten jede Entscheidung hat.
- Multipliziere.
- Prüfe, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn nicht, teile.
Mit einem Bild erklärt
| Frage | Antwort |
|---|---|
| Wie viele Entscheidungen? | z. B. 2 für Platz 1 und Platz 2 |
| Möglichkeiten je Entscheidung? | 5, dann 4 |
| Reihenfolge wichtig? | ja: 20, nein: 20 : 2 = 10 |
Zur Grundlage zurück
- Zufallsversuche in mehreren Stufen – Das Zählprinzip kennst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Vier Kinder stellen sich in einer Reihe auf. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
Platz 1: 4 Kinder, Platz 2: 3, Platz 3: 2, Platz 4: 1.
Lösung ansehen
Lösung: 24
4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Zahlencode besteht aus 4 Ziffern (0 bis 9, Wiederholung erlaubt). Wie viele Codes gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
Jede Stelle hat 10 Möglichkeiten.
Lösung ansehen
Lösung: 10000
10 · 10 · 10 · 10 = 10 000.
Tipp: Frage dich: Wie viele Entscheidungen gibt es nacheinander? Wie viele Möglichkeiten hat jede? Kannst du etwas nicht noch einmal verwenden, wird die Zahl der Möglichkeiten kleiner. Spielt die Reihenfolge keine Rolle, teilst du durch die Zahl der Reihenfolgen.
Merksatz: Zählprinzip: Möglichkeiten multiplizieren. Anordnung von n Dingen: n · (n − 1) · … · 1 = n!. Auswahl ohne Reihenfolge: Auswahl mit Reihenfolge, geteilt durch die Zahl der Reihenfolgen.
Typischer Fehler: Viele rechnen für „2 aus 5 ohne Reihenfolge“ 5 · 4 = 20 und vergessen, dass sie jedes Team doppelt gezählt haben. Prüfe, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Menü besteht aus 1 von 3 Vorspeisen, 1 von 4 Hauptspeisen und 1 von 2 Nachspeisen. Wie viele Menüs gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere die Möglichkeiten.
Lösung ansehen
Lösung: 24
3 · 4 · 2 = 24.
Frage 2 Fünf Läufer starten. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Plätze 1, 2 und 3?
Zeig mir den ersten Schritt
Platz 1: 5, Platz 2: 4, Platz 3: 3.
Lösung ansehen
Lösung: 60
5 · 4 · 3 = 60.
Frage 3 Du wählst aus 6 Kindern ein Zweierteam aus. Wie viele Teams gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
Mit Reihenfolge: 6 · 5. Dann durch 2.
Lösung ansehen
Lösung: 15
6 · 5 = 30. 30 : 2 = 15.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Zeig mir den ersten Schritt
Wie viele Codes gibt es?
Lösung ansehen
Lösung: ein Tausendstel
Geschafft
Mit dem Zählprinzip multiplizierst du die Möglichkeiten. Bei Anordnungen wird die Auswahl pro Stelle kleiner. Ohne Reihenfolge teilst du durch die Zahl der Reihenfolgen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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