Teiler mit Primfaktoren finden
Mit der Primfaktorzerlegung findest du alle Teiler, ihre Anzahl, den ggT und das kgV.
Das lernst du heute
- Ich kann alle Teiler einer Zahl aus ihrer Zerlegung bilden.
- Ich kann ggT und kgV mit Primfaktoren bestimmen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Primfaktorbaum, Gemeinsame Teiler und Vielfache
Jeder Teiler einer Zahl besteht aus Primfaktoren ihrer Zerlegung. 12 = 2² · 3. Die 2 darfst du null-, ein- oder zweimal nehmen. Die 3 darfst du null- oder einmal nehmen. Das ergibt 3 · 2 = 6 Möglichkeiten, also 6 Teiler: 1, 2, 4, 3, 6, 12. Die Anzahl der Teiler ist das Produkt aus den um 1 erhöhten Exponenten. Auch ggT und kgV findest du so: Für den ggT nimmst du von jedem Primfaktor die kleinere Hochzahl. Für das kgV nimmst du die größere.
| Zahl | Zerlegung | Exponenten + 1 | Anzahl Teiler |
|---|---|---|---|
| 12 | 2² · 3 | 3 und 2 | 3 · 2 = 6 |
| 30 | 2 · 3 · 5 | 2, 2 und 2 | 2 · 2 · 2 = 8 |
| 36 | 2² · 3² | 3 und 3 | 3 · 3 = 9 |
Alle Teiler von 60
- Zerlegung: 60 = 2² · 3 · 5.
- Anzahl: (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 3 · 2 · 2 = 12 Teiler.
- Bilde Produkte: 1, 2, 4, 3, 6, 12, 5, 10, 20, 15, 30, 60.
- Geordnet: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zerlege die Zahl.
Für jeden Primfaktor: Hochzahl plus 1.
Diese Zahlen multiplizieren. Das ist die Anzahl der Teiler.
Ein Beispiel
Du baust Teiler aus Bausteinen. Bei 12 hast du zwei 2er und eine 3. Du darfst von jedem Baustein nehmen, so viele du willst, aber nicht mehr, als da sind.
Schritt für Schritt
Wir suchen ggT und kgV von 36 und 48
- 36 = 2² · 3² und 48 = 2⁴ · 3.
- ggT: Von der 2 die kleinere Hochzahl: 2². Von der 3 die kleinere Hochzahl: 3¹.
- ggT = 2² · 3 = 12.
- kgV: Von der 2 die größere Hochzahl: 2⁴. Von der 3 die größere: 3².
- kgV = 2⁴ · 3² = 16 · 9 = 144.
Mit einem Bild erklärt
| Primfaktor | 36 | 48 | ggT | kgV |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2⁴ | 2² | 2⁴ |
| 3 | 3² | 3¹ | 3¹ | 3² |
Zur Grundlage zurück
- Der Primfaktorbaum – Du musst Zahlen zerlegen können.
- Gemeinsame Teiler und Vielfache – ggT und kgV hast du schon mit Listen gefunden.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
12 = 2² · 3. Wie viele Teiler hat 12?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne (2 + 1) · (1 + 1).
Lösung ansehen
Lösung: 6
(2 + 1) · (1 + 1) = 3 · 2 = 6. Die Teiler sind 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
30 = 2 · 3 · 5. Wie viele Teiler hat 30?
Zeig mir den ersten Schritt
Jeder Primfaktor hat die Hochzahl 1. Rechne (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1).
Lösung ansehen
Lösung: 8
2 · 2 · 2 = 8. Die Teiler sind 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Tipp: Schreibe die Zerlegung auf. Gehe jeden Primfaktor einzeln durch: Wie oft darf er höchstens vorkommen? Die Anzahl der Möglichkeiten multiplizierst du.
Merksatz: Anzahl der Teiler: Exponenten um 1 erhöhen und multiplizieren. ggT: jeweils die kleinere Hochzahl. kgV: jeweils die größere.
Typischer Fehler: Viele zählen nur die Exponenten zusammen. Bei 12 = 2² · 3 sind das 3 und nicht 6. Du musst (2 + 1) · (1 + 1) rechnen.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 36 = 2² · 3². Wie viele Teiler hat 36?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne (2 + 1) · (2 + 1).
Lösung ansehen
Lösung: 9
3 · 3 = 9.
Lösung ansehen
Lösung: 12
Frage 3 Wie groß ist das kgV von 12 und 18? Es ist 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3².
Zeig mir den ersten Schritt
Nimm von jedem Primfaktor die größere Hochzahl: 2² und 3².
Lösung ansehen
Lösung: 36
2² · 3² = 4 · 9 = 36.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Du findest Teiler, ggT und kgV mit der Primfaktorzerlegung.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Primfaktoren und Potenzen
Kurz erklärt, 57 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch, wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen