Zweimal spiegeln
Wenn du eine Figur nacheinander an zwei Achsen spiegelst, entsteht eine Verschiebung oder eine Drehung. Das hängt davon ab, wie die Achsen liegen.
Das lernst du heute
- Ich weiß: Zweimal spiegeln an parallelen Achsen ergibt eine Verschiebung.
- Ich weiß: Zweimal spiegeln an Achsen, die sich schneiden, ergibt eine Drehung.
- Ich kann die Weite der Verschiebung und den Drehwinkel bestimmen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: An einer Achse spiegeln, Verschieben, Drehen, Abbildungen im Koordinatensystem
Du kannst eine Figur zweimal nacheinander spiegeln. Das Ergebnis ist eine Abbildung, die du schon kennst. Es kommt darauf an, wie die beiden Achsen liegen. Sind die Achsen parallel, ist das Ergebnis eine Verschiebung. Die Figur wandert senkrecht zu den Achsen. Die Weite ist doppelt so groß wie der Abstand der beiden Achsen. Schneiden sich die Achsen, ist das Ergebnis eine Drehung um den Schnittpunkt. Der Drehwinkel ist doppelt so groß wie der Winkel zwischen den Achsen. Ein Beispiel: Die x-Achse und die y-Achse stehen senkrecht aufeinander, der Winkel ist 90°. Zweimal spiegeln ergibt eine Drehung um 180° um den Ursprung.
P(1|2) an der y-Achse, dann an der Geraden x = 2 spiegeln
- Erste Spiegelung an der y-Achse: Der x-Wert wechselt das Vorzeichen. P′ = (−1|2).
- Zweite Spiegelung an der Geraden x = 2: P′ ist 3 Einheiten von der Geraden entfernt, von −1 bis 2.
- Der Bildpunkt liegt auf der anderen Seite, ebenfalls 3 Einheiten entfernt: 2 + 3 = 5. P″ = (5|2).
- Zusammen ist P um 4 nach rechts gewandert. Der Abstand der Achsen ist 2. Die Weite ist 2 · 2 = 4.
- Das ist eine Verschiebung.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Parallele Achsen: Verschiebung.
Schneidende Achsen: Drehung.
Doppelter Abstand oder doppelter Winkel.
Ein Beispiel
Zwei parallele Achsen haben den Abstand 2. Nach zwei Spiegelungen steht das Dreieck 4 Kästchen weiter rechts. 4 ist das Doppelte von 2.
Schritt für Schritt
Wir drehen mit der x-Achse und der y-Achse
- Gegeben ist P(4|3). Spiegle zuerst an der y-Achse. P′ = (−4|3).
- Spiegle dann an der x-Achse. Der y-Wert wechselt das Vorzeichen. P″ = (−4|−3).
- Vergleiche mit der Drehung um 180°: (4|3) wird (−4|−3). Das stimmt überein.
- Die Achsen schneiden sich im Winkel von 90°. Der Drehwinkel ist 2 · 90° = 180°.
Mit einem Bild erklärt
Zur Grundlage zurück
- An einer Achse spiegeln – Spiegeln an einer Achse kannst du schon.
- Verschieben – Verschieben kennst du.
- Drehen – Drehen kennst du.
- Abbildungen im Koordinatensystem – Abbildungen an den Koordinaten erkennst du dort.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zwei parallele Achsen haben den Abstand 3. Um wie viele Einheiten wird die Figur durch zweimaliges Spiegeln verschoben?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Weite ist doppelt so groß wie der Abstand der Achsen.
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Lösung: 6
2 · 3 = 6. Die Figur wandert um 6 Einheiten.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Eine Figur wird an zwei parallelen Achsen gespiegelt. Sie wandert dabei 14 Einheiten. Wie groß ist der Abstand der Achsen?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Weite ist das Doppelte des Abstands. Du musst durch 2 teilen.
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Lösung: 7
14 : 2 = 7. Der Abstand der Achsen ist 7.
Tipp: Rechne mit dem Abstand zur Achse. Der Bildpunkt liegt auf der anderen Seite der Achse im gleichen Abstand.
Merksatz: Parallele Achsen: Verschiebung um den doppelten Abstand der Achsen. Sich schneidende Achsen: Drehung um den Schnittpunkt um den doppelten Winkel.
Typischer Fehler: Viele denken, zweimal spiegeln ergibt wieder eine Spiegelung. Das stimmt nicht. Nach zwei Spiegelungen ist die Figur wieder seitenrichtig. Bei zwei verschiedenen Achsen entsteht eine Verschiebung oder eine Drehung. Spiegelst du zweimal an derselben Achse, liegt die Figur wieder am Start.
Mini-Quiz
6 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: eine Verschiebung
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Lösung: eine Drehung um Z
Frage 3 Die beiden Achsen schneiden sich im Winkel von 45°. Um wie viel Grad wird die Figur gedreht?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Drehwinkel ist doppelt so groß wie der Winkel zwischen den Achsen.
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Lösung: 90
2 · 45° = 90°.
Frage 4 P(2|5) wird an der y-Achse gespiegelt und danach an der Geraden x = 3. Welchen x-Wert hat das Endergebnis?
Zeig mir den ersten Schritt
Erst (−2|5). Von −2 bis 3 sind es 5 Einheiten. Gehe von 3 noch einmal 5 weiter.
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Lösung: 8
(2|5) wird (−2|5). Dann liegt der Punkt bei 3 + 5 = 8. Das Endergebnis ist (8|5). Die Verschiebung ist 2 · 3 = 6, denn 2 + 6 = 8.
Frage 5 P(4|3) wird erst an der y-Achse und dann an der x-Achse gespiegelt. Welchen y-Wert hat das Endergebnis?
Zeig mir den ersten Schritt
Die y-Achse ändert nur den x-Wert. Die x-Achse ändert nur den y-Wert.
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Lösung: -3
(4|3) wird (−4|3). Dann (−4|−3). Der y-Wert ist −3.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Zweimal spiegeln an parallelen Achsen ergibt eine Verschiebung. Die Weite ist doppelt so groß wie der Abstand der Achsen. Zweimal spiegeln an Achsen, die sich schneiden, ergibt eine Drehung um den Schnittpunkt. Der Winkel ist doppelt so groß wie der Winkel zwischen den Achsen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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